2025학년도 고3 9월 모의고사 수학 영역 문제/정답 및 분석 (2024)

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평가원이 주관하는 마지막 모의고사가 시행되었습니다. 이번 9월 모의고사는 저 역시 국어부터 탐구까지 현장에서 응시하고 왔습니다. 수학은 미적분을 선택하여 응시하였고, 확통과 기하 문제는 시험 끝나고 마저 푼 다음 이 분석을 작성하고 있습니다. 현장에서 응시했기에 수험생의 입장에서 체감한 바를 좀 더 현실적으로 전달할 수 있을 것 같습니다.

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분석을 작성하고 있는 지금 국어와 수학은 예상 등급컷이 발표되기 시작했는데, 예상보다도 등급컷이 매우 높게 잡혔습니다. 수학은 100점이어서 백분위가 100일지 99일지가 관심사이지만(ebs 기준 예상 98이라거 합니다), 국어는 물론 준비를 안 하긴 했지만 예상보다도 낮은 등급을 받을 것으로 보입니다. 아무튼 여기에서는 수학 영역에 대해서 한 문제씩 보도록 하겠습니다.​

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시험 개요

• 시험명: 2025학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가

• 시행일: 2024년 9월 4일(수)

• 시행처: 한국교육과정평가원

2025학년도 고3 9월 모의고사 수학 영역 문제지

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2025학년도 고3 9월 모의고사 수학 영역 정답지

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단원별 문항 수

* 두 단원 이상에 걸쳐서 출제된 경우, 핵심 출제 요소가 포함된 단원으로 분류했습니다.

* 미적분 30번: 부정적분 구하기 포함

공통과목

• 1번: 거듭제곱근을 계산하는 문제.

  • 간단하긴 하지만 은근히 헷갈릴 수 있는 문제입니다. 분수 지수로 고치면 좀 더 편리하지만, 거듭제곱근의 성질만을 이용해서 풀 줄도 알았으면 좋겠습니다.

• 2번: 함수의 미분계수를 구하는 문제.

• 3번: 등비수열의 항의 값을 구하는 문제.

• 4번: 그래프가 주어진 함수의 좌극한과 우극한을 구하는 문제.

• 5번: 함수의 곱의 미분법을 이용하여 미분계수를 구하는 문제.

• 6번: 삼각함수의 성질을 이용하여 삼각함수의 값을 구하는 문제.

• 7번: 함수가 연속이 되도록 하는 상수의 값을 결정하는 문제.

• 8번: 로그를 계산하는 문제.

• 9번: 정적분의 성질을 이용하여 정적분의 값을 구하는 문제.

  • 주어진 식을 간단히 해서 단순히 계산하는 문제입니다. 이번 6모에서도 지적했던 소괄호 중복 사용은 고치지 않았습니다.

• 10번: 사인법칙을 이용하여 삼각형에서 선분의 길이를 구하는 문제.

  • 조건이 간단하게 주어졌지만 막상 풀어보려면 조금 당황스러울 수 있는 문제입니다. 외접원 넓이는 주어졌으니 사인법칙을 한 번 적용하는 아이디어는 떠올리기 어렵지 않지만, 수선의 길이를 어떻게 활용할지를 고민해야 했습니다. 여기에서 넓이를 두 가지 식으로 구하는 아이디어를 떠올릴 수 있어야 했습니다.

  • 이번 6모에 이어 그림이 주어지지 않았고, 도형의 다양한 성질을 복합적으로 적용하기보다는 사인법칙과 코사인법칙을 활용하여 식을 해석하는 문제가 출제되었습니다. 따라서 도형을 바라보는 능력과 사인법칙/코사인법칙 식을 활용하는 능력 모두 길러두어야 합니다.

• 11번: 수직선 운동에서 점의 가속도를 구하는 문제.

  • 09개정 시절 나형에 나올법한 유형으로 쉽게 출제되었습니다. 하지만 수능에서 계산량이 더 많거나 추론을 요구하는 문제로 출제될 수 있는 부분이니 방심은 금물입니다.

• 12번: 등차수열의 성질을 이용하여 수열의 합을 구하는 문제.

  • 등차수열을 응용한 수열의 합 중 유명한 -1의 거듭제곱이 곱해진 형태입니다. 공차를 이용해 수열의 합을 표현하는 아이디어가 필요합니다. 항의 개수가 많지는 않아서 나열해보며 파악해도 충분합니다.

• 13번: 함수의 그래프에서 넓이와 정적분의 관계를 이용하여 상수의 값을 결정하는 문제.

  • 최근 들어 평가원뿐만 아니라 다른 모의고사에서도 밀고 있는 넓이와 정적분의 관계 유형입니다. 그런데 그래프가 직접 주어지지 않아 직접 그려야 했습니다. 또한 f(x)의 그래프가 y축에 대하여 대칭임을 이용하여 A=2B라는 것이 사실은 0부터 k까지 이차함수를 정적분한 값이 0임을 의미한다는 것을 알아내야 했습니다. 분명히 익숙한 유형이지만 표현을 달리 한 것이 참신한 문제였습니다.

• 14번: 지수함수와 로그함수의 역함수 관계를 이용하여 지수함수와 기울기가 주어진 직선의 교점의 좌표를 구하는 문제.

  • 핵심은 지수함수와 로그함수의 y=x 대칭성, 지수함수와 기울기가 주어진 직선의 교점 좌표 연립을 이용하는 익숙한 유형이지만, 조건을 수열 느낌으로 주어서 신유형이라고 하면 신유형이라고 볼 수도 있을 것 같습니다. 원의 중심이 y=x 위에 있으므로 원은 y=x 대칭인 도형이고 지수함수와 로그함수 역시 y=x 대칭 관계이므로 대칭성을 이용하여 xn이 점 Bn의 y좌표임을 파악해야 합니다. (가)의 기울기 조건과 (나)의 선분 길이 조건을 통해 점 An과 점 Bn의 좌표 사이의 관계를 구하고 지수함수에 대입해 연립하면 xn을 n에 대한 완전한 식으로 구할 수 있습니다. 풀이 자체는 다른 유형과 비슷하지만, 조건 표현을 새롭게 한 문제입니다.

• 15번: 정적분으로 정의된 함수의 성질과 함수의 곱의 미분법의 역을 이용하여 다항함수를 구하는 문제.

  • 생각보다 허무하게 풀리는 문제였습니다. (가)에서 위끝 아래끝 맞춰볼 필요도 없이 바로 양변 미분해서 f(x)+g(x)를 구하고, f(x) 대신 xg'(x)를 대입하면 xg(x)를 미분한 꼴임을 파악하여 g(x)를 구하면 끝입니다. 작년 9모 22번과 비슷하게 함수의 곱의 미분법을 역으로 이용하는 것이 필요합니다.

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• 16번: 로그가 포함된 방정식을 푸는 문제.

• 17번: 다항함수의 부정적분을 구하는 문제.

• 18번: 시그마의 성질을 이용하여 수열의 합을 구하는 문제.

  • 평소에 보던 시그마 성질 문제와는 달리 생각을 좀 더 필요로 하는 문제였습니다. 두 번째 식을 변형해보면 결국 첫 번째 식에서 두 번째 식을 뺀 것이 구하는 답이 된다는 것을 알 수 있습니다. 정 안 된다면 나열해보며 파악하는 것도 방법입니다.

• 19번: 다항함수의 극댓값과 극솟값을 구하는 문제.

• 20번: 삼각함수의 그래프를 이용하여 방정식의 실근의 개수를 추론하는 문제.

  • 이번 6모 20번보다는 좀 더 쉬운 삼각함수 그래프 문제입니다. 주어진 방정식의 실근이 3개가 되는 f(t)의 값을 먼저 찾고 이에 해당하는 t의 값을 찾으면 됩니다.

• 21번: 조건을 만족하는 삼차함수를 결정하는 문제.

  • 공통과목에서 가장 까다로운 문제로 꼽히는 신유형 문제이지만, 의외로 거창하게 추론해야 할 부분은 많지 않습니다. 주어진 부등식의 양쪽 끝이 같은 경우가 k=-2와 k=-1임을 이용하여 이차함수인 f(x+2)-f(x)/2와 2x-8의 차함수를 세울 수 있습니다. 그 뒤 해결 과정은 그냥 f(x)를 계수가 1로 주어진 삼차항 빼고 나머지 항의 계수를 미정계수로 둬서 f(x+2)-f(x)/2를 직접 구하고 처음에 세운 식과 비교하는 것입니다. 사실상 마지막에 f'(3)을 구하는 것을 빼면 이차함수 추론과 항등식 미정계수 결정은 고1 내용입니다.

• 22번: 귀납적으로 정의된 수열의 항의 값을 구하는 문제.

  • 이번 6모 22번에서 귀납적으로 정의된 수열이 처음으로 단답형 마지막 문제로 출제된 것이 새로운 출제 경향이었는데, 이번 9모에서도 이를 이어갔습니다. 6모 22번과 마찬가지로 첫째항부터 쭉 다음 항들을 구하여 조건에 맞도록 값을 구하면 되는 문제여서 어렵지는 않았습니다. 경우가 여러 가지 나오기 때문에 실수를 하지 않는 것이 중요합니다.​

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선택과목 - 확률과 통계

• 23번: 같은 것이 있는 순열의 수를 구하는 문제.

• 24번: 독립인 사건의 성질을 이용하여 확률을 구하는 문제.

• 25번: 여사건을 이용하여 확률을 구하는 문제.

• 26번: 정규분포를 따르는 확률변수의 표본평균의 분포를 구하여 확률을 구하는 문제.

• 27번: 이산확률변수가 갖는 값에 대한 확률의 조건을 이용하여 확률분포를 구하는 문제.

  • k에 0, 1, 2를 대입해보며 확률분포표를 완성해 보고 확률의 총합은 1임과 E(X^2)의 값을 이용하면 어렵지 않게 해결할 수 있습니다.

• 28번: 함수의 개수에 대한 조건부확률을 구하는 문제.

  • 약수와 배수 조건이 있어 까다로워 보일수도 있지만, 단순히 나열해보며 풀어도 무리가 될 것은 없어 생각보다 할 만한 문제였습니다. 약수 조건을 뒤집어 배수 조건으로 바라본다면 좀 더 수월하게 이해할 수 있습니다.

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• 29번: 이항분포와 정규분포의 관계를 이용하여 확률을 구하는 문제.

  • 평가원 시험에서 이항분포와 정규분포의 관계가 직접적으로 출제된 것은 오랜만에 보는 것 같습니다. 2021 수능 17번처럼 주사위를 던지는 상황을 가지고 이항분포를 따르는 확률변수를 하나 잡고, 점의 위치를 그 확률변수로 표현하는 아이디어가 필요합니다. 풀면서 해당 문제가 떠올랐다면 수월했을 것입니다.

• 30번: 중복조합을 이용하여 분배하는 경우의 수를 구하는 문제.

  • 09개정 말기와 15개정 과도기인 2020년(평가원 2021학년도)에 확통 고난도 유형으로 자주 출제되었던 중복조합을 이용한 배분 유형이 부활했습니다. 문제 해석이 어렵지 않은 것에 비해 경우를 나누고 경우의 수를 구하는 것은 그렇게 만만하지는 않았습니다. B가 공을 2개 이상 받는 것을 한 종류의 공만 받는 경우와 두 종류의 공을 받는 경우로 나누고, 그 안에서 A가 어떻게 공을 2개 이하로 받는지로 나누어 계산하는 것이 양은 많을지라도 떠올리기는 쉬운 방법입니다.

  • (가) 조건에서 '0 이상'이라는 말은 없어도 문제가 없을 것 같습니다. 문제 발문에서 공을 받지 못하는 학생이 있을 수 있음을 이미 명시해 두었기 때문입니다.​

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선택과목 - 미적분

• 23번: 삼각함수의 극한값을 구하는 문제.

• 24번: 함수의 부정적분을 구하는 문제.

• 25번: 등비수열의 극한을 이용하여 등비수열을 구하는 문제.

• 26번: 정적분을 이용하여 입체도형의 부피를 구하는 문제.

  • 어려울 만한 요소는 딱히 없지만, 단면이 반원임에 유의해야 합니다.

• 27번: 합성함수의 미분법을 이용하여 함수의 미분계수를 구하는 문제.

  • 처음에는 이게 뭔가 싶을 수 있지만, 양변을 미분해서 x에 0과 pi만 대입하면 답이 나옵니다. 이러한 과감함도 필요합니다.

• 28번: 역함수를 포함한 치환적분법과 부분적분법을 이용하여 함수의 정적분을 구하는 문제.

  • 7차 교육과정 당시 가형 미분과 적분에 출제되던 느낌의 문제입니다. 결국 함수가 복잡하면 동일한 형태를 만들어나가는 것이 문제 해결의 전략입니다. f'(2x)sin(pi*x)라는 특이한 함수가 들어있도록 정적분 식을 고쳐주는 것이 핵심입니다. 역함수의 정적분을 비롯하여 치환적분법과 부분적분법을 자유자재로 사용할 수 있는지를 평가하는 좋은 문제입니다.

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• 29번: 부분분수분해를 이용하여 급수의 합을 구하는 문제.

  • 수열들 사이의 관계를 헷갈리지 않는다면 어렵지 않은 문제입니다. 부분분수분해를 이용하여 급수의 합을 구하고, 수열과 그 합 사이의 관계를 이용하여 항의 값을 구해주면 됩니다.

• 30번: 도함수를 이용하여 부등식이 항상 성립하도록 그래프의 개형을 추론하는 문제.

  • 미적분 8문제 중에서 가장 어려운 문제이지만, 최종 답에 100을 곱하는 문제여서 찍기에는 용이한 문제였습니다. 함수의 그래프는 도함수를 이용해 그린다는 것을 이용하여 개형을 그리고 F(x)의 그래프가 f(x)의 그래프보다 위쪽에 있을 조건을 구해야 합니다. 그런데 이 조건을 구하려면 F(x) 그래프를 정교하게 그려야 합니다. 문제에서 k=1/4인 경우와 k=3/2인 경우를 물어보았는데, 1과의 대소에 따라 f(x) 그래프 개형이 달라지는 것은 물론 F(0)이 최소가 되는 상황이 조금 다릅니다. k=3/2인 경우에는 두 곡선이 접하는 경우로 식을 세우면 된다는 것을 쉽게 떠올릴 수 있지만, k=1/4인 경우에는 단순히 x=0에서의 상황만 봐서는 안 됩니다. F(x)의 그래프 개형을 그리면서 간과하기 쉬운 부분인데, 점근선의 존재에 유의해야 합니다. 실제로 F(x) 그래프의 점근선이 0이 될 때가 부등식이 항상 성립하는 최소 기준입니다. 이렇게 g(1/4)=3/4으로 맞게 풀면 p+q=1/4이 나오는데, x=0의 상황만 보고 g(1/4)=1/4로 잘못 풀면 우연히도 p+q=-1/4이 되어 최종 답을 양수 처리하여 25로 찍어 맞은 사례도 들었습니다.​

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선택과목 - 기하

• 23번: 성분으로 주어진 벡터를 연산하는 문제.

• 24번: 타원의 초점의 좌표를 구하는 문제.

• 25번: 좌표공간에서 선분의 중점과 내분점의 좌표를 구하는 문제.

• 26번: 접점이 주어진 포물선의 접선의 방정식을 구하는 문제.

  • 고1 수학 내용인 원과 직선이 만날 조건을 알고 있어야 해결할 수 있습니다.

• 27번: 두 평면이 이루는 각을 이용하여 정사영의 넓이를 구하는 문제.

  • 정사영이 3점 문제로 출제되었는데, 중1 때 이후로 처음 볼 사각뿔대라는 생소한 도형을 소재로 하였습니다. 두 평면이 이루는 각을 찾을 기준을 잘 잡는 것이 핵심입니다. 삼각함수 도형 문제에서 빠진 중학교 도형 내용이 이 문제에 들어있습니다.

• 28번: 좌표공간에서 구의 방정식을 이해하고 두 구의 교선을 추론하는 문제.

  • 개인적으로는 46문제 전체 중에서 가장 까다로웠던 문제였습니다. 평면 상의 상황이었다면 점 P와 점 Q가 각각 선분 AO, 선분 BO를 지름으로 하는 원과 중심이 O이고 반지름의 길이가 10인 원의 교점이 되겠지만, 공간 상의 구를 다루므로 이를 회전하여 회전체를 만들었다고 생각하면 편리합니다. 그러면 P와 Q가 그리는 자취가 만들어진 두 구의 교선이 된다는 것을 알 수 있는데, 단면화를 통한 이해뿐만 아니라 공간적인 이해 역시 필요합니다.

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• 29번: 포물선과 쌍곡선의 길이를 이용하여 선분의 길이를 구하고 쌍곡선의 방정식을 완성하는 문제.

  • 전형적인 초점을 공유하는 포물선과 쌍곡선에 대한 문제입니다. 포물선의 성질을 이용하여 필요한 선분의 길이들을 구하고, 쌍곡선의 성질과 주어진 초점의 좌표를 이용하여 쌍곡선의 방정식을 완성하면 됩니다.

• 30번: 벡터의 합의 종점의 자취를 이용하여 합벡터의 크기의 최대와 최소를 추론하는 문제.

  • 원이 아니라 직각삼각형 위를 움직이는 점이어서 벡터 분해를 어떻게 할지 고민되었을 것 같습니다. 저의 경우 직각삼각형에서 직각을 낀 두 변이 만나는 꼭짓점을 경유하도록 PQ 벡터를 분해했습니다. 이렇게 합벡터의 종점의 자취를 그리면 크기가 최소인 경우와 최대인 경우는 비교적 명확하게 찾을 수 있습니다.

총평

공통+선택과목 체제로 시행된 이후 가장 무난하게 출제된 수학 시험이었습니다. 예상 등급컷도 이를 보여주는데, ebsi 기준 확통 95, 미적 91, 기하 93으로 모두 90점을 넘습니다. 특히 미적 1컷이 90점을 넘긴 것은 거의 본 적이 없는 것 같습니다. 다만, 전반적인 문제들의 난이도가 그랬다는 것이고 분명히 어려운 문제들도 공통과목과 각 선택과목에서 하나씩은 있었습니다. 또한 쉽긴 했어도 고1 및 중등 수학의 기반이 마련될 필요성은 여전히 유효했습니다. 6모에서 문제 퀄리티 및 발문 완성도에 대해 조목조목 지적했었는데, 이번 9모 문제 퀄리티는 전반적으로 좋았다고 생각합니다.

• 공통과목에서는 10번이 복병으로 작용할 여지가 있었지만 신유형으로 볼 수 있는 21번을 제외하면 어렵지 않게 출제되었습니다. 문제 구성은 6모와 유사하게 다항함수 추론을 21번, 귀납적으로 정의된 수열을 22번에 배치하는 것을 기반으로 하였습니다. 익숙한 유형으로 출제하였지만, 13번, 14번과 같이 그 속에서 표현을 기존과 다르게 제시하여 새롭다는 느낌을 주려는 노력이 보였습니다. 15번, 21번과 같이 생각보다 거창한 준비를 하지 않아도 풀리는 경우도 있기 때문에 기계적으로 '어떤 유형을 만났을 때에는 어떤 작업을 해야겠다'라는 것에 얽메이지 않고 유연하게 전략을 세우는 것이 필요합니다.​

• 선택과목에서도 4점 한 문제씩은 어렵게 출제되었고, 그 외 문제들은 무난했습니다.

  • 확률과 통계의 경우 오랜만에 돌아온 중복조합 배분 유형인 30번이 가장 까다로웠고, 그 외에는 그다지 어렵지 않았습니다. 6모 확통과 난이도가 비슷했습니다. 새로운 유형이나 조건 제시 역시 눈에 띄는 것은 없었습니다. 29번과 같이 예잔에 출제되었을 때 주목받았던 유형이 다시 변형되어 출제된 것은 주목할만합니다.

  • 미적분 역시 30번이 가장 난이도 높은 문제였습니다. 작년 수능이나 올해 6모와 달리 까다로운 비킬러 혹은 준킬러는 없었습니다. 28번, 30번과 같이 제시된 조건을 이용하여 추론하는 것을 지향하는 방향성으로 출제되었습니다. 따라서 특수성에 의존하지 않고 그때그때 문제마다 정보를 해석하고 표현할 수 있어야 합니다.

  • 기하의 경우 28번 공간도형이 가장 까다러웠으며, 30번 평면벡터 역시 6모보다는 좀 더 생각을 필요로 했습니다. 공간도형 문제인 27번과 28번에서 본질적인 도형에 대한 성질을 이해하는 것을 필요로 하면서 이 두 문제는 '기하'라는 과목명에 걸맞게 출제하였다고 생각합니다.

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수능은 어떨 것인가

이번 9모는 예상 등급컷이 보여주듯이 상당히 쉽게 출제되었습니다. 따라서 수능 수학은 변별력을 갖추기 위하여 이번 시험보다는 어렵게 출제될 것으로 예상됩니다. 6모와 9모의 상반되는 난이도 속에서도 이어지는 출제 기조가 무엇인지를 파악하여 기억하되, 수능은 모의평가와 다를 수 있음을 항상 알아두어야 합니다. 공통+선택 체제 이후 평가원은 매년 수능에서 6모 및 9모와는 다른 출제 경향을 선보여 왔습니다. 결국 본질적인 것이 무엇인지를 기억해야 합니다.

9모 보시느라 수고 많으셨고, 이제는 수능이 정말 얼마 남지 않았음을 체감해야 할 때입니다. 이번 9모에서 풀었던 문제들을 꼼꼼히 점검하고 약점을 보완하여 수능 당일까지 충분히 준비를 해두는 것이 필요합니다.

이번 9모의 필적확인란 문구는는 '싱그럽고 푸르른 젊음이어라'입니다. 싱그럽고 푸르른 젊은 시절을 쏟아부은 노력이 헛되지 않기를 바랍니다.

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해설지는 완성되는 대로 빠른 시일 내에 공개하겠습니다. 추가로 고2 수학이 많이 어렵다는 후기가 들려오고 있는데, 나중에 풀어보고 제대로 된 분석을 작성하고자 하는 마음이 든다면 작성해서 올려보겠습니다.